Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel.

Definice aritmetické posloupnosti

Posloupnost se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje reálné číslo d takové, že pro celá kladná čísla platí: a_n+1 = a_n+d, kde d je diference aritmetické posloupnosti. Aritmetická posloupnost je jednoznačně určena prvním členem a diferencí.

• Aritmetická posloupnost s diferencí d > 0 je rostoucí
• Aritmetická posloupnost s diferencí d < 0 je klesající

Vlastnosti aritmetické posloupnosti

Každý člen aritmetické posloupnosti (kromě prvního a posledního) je aritmetický průměr předcházejícího a následujícího členu.

                        d = (a_n-1+a_n+1) / 2

      Vzorce pro počítání s aritmetickou posloupností:

                        a_n = a₁ + (n-1)*d

                        a_r = a_s + (r-s)*d

                        s_n = n/2 . (a₁+a_n)     ...    součet prvních n členů AM   

Definice geometrické posloupnosti

Posloupnost se nazývá geometrická jestliže existuje reálné číslo q různé od nuly takové, že pro všechna celá kladná čísla n platí: a_n+1 = a_n*q, kde q je kvocient geometrické posloupnosti. Geometrická posloupnost je jednoznačně určena prvním členem a kvocientem.

• Geometrická posloupnost je rostoucí, když a₁>0 a q>1 nebo když je a1<0  a 0.
• Geometrická posloupnost je klesající, když a₁<0 a q>1 nebo když je a1>0  a 0.

Vlastnosti geometrické posloupnosti

Libovolný člen geometrické posloupnosti s výjimkou prvního a posledního lze určit jako geometrický průměr předcházejícího a následujícího členu.

                    a_n = √(a_n-1 * a_n+1)

Vzorce pro počítání s geometrickou posloupností:

                    a_n = a₁ * q^n-1

                    a_r = a_s * q^r-s

                    s_n = n*a₁                         ... součet prvních n členů jeli q = 1.

                    s_n = a₁*((qⁿ-1)/(q-1)        ... součet prvních n členů pokud se q ≠ 1.

Vzorce

Příklady

Slovní úlohy (video)